Se mudarmos o produto escalar eles podem deixar de ser unitários! Isto é pouco visível, e talvez você esteja surpreso, porque as coisas foram construídas assim, e quando o conceito de produto escalar foi criado, este vetores já existiam, e o produto escalar já estava sendo calculado... quando descobrimos que as contas que estavamos fazendo era um produto escalar!
Foi neste momento que outras expressões para produto escalar começaram a ser usadas!
A integral que calculei acima entre os vetores sin, cos é um tipo de produto escalar, e eu sei que você pode estar também surpreso com a afirmação de que sin, cos são vetores!
As funções são vetores (quaisquer que sejam elas).
Em alguns casos não ajuda muito vê-las como vetores, ou ficaria muito complicado considerá-las como vetores.
Digamos que as funções que nos interessam no Cálculo são vetores!
Observe que as funções são "objetos" que tem coordenadas, que é o seu valor em cada ponto do domínio. E a "quantidade" de coordenadas é que vai caracterizar a dimensão do espaço em que se encontra o vetor.
Portanto estamos lidando com vetores que pertencem a espaços de dimensão não finita, e eu deixei a palavra "quantidade" entre aspas porque não tem mais sentido falar em "quantidade" quando se passa a ter "quantidades infinitas"...
Se fala de cardinalidade, e vou deixar esta questão de lado!