Palavras chave: cálculo vetorial, cosenos diretores, integral de linha, integral múltipla, integral de superfícies, produto escalar, produto vetorial,vetor normal, vetor tangente, vetor unitário,

eu mesmo

Cálculo Vetorial

Este assunto você deveria ter estudado em Geométria Analítica e possivelmente estudou. Considere que é uma revisão, se for o caso. Vamos seguir trabalhando com integrais também.
Com o "calculo vetorial" vamos ser capazes de rapidamente expressar algumas relações, você já viu um pouco disto quando observei que
A(x-a) + B(y-b) + C(z-c) = 0
é a equação de um plano, no espaço 3D (preciso da dimensão do espaço para interpretar a equação) posso "interpretar" esta expressão como um produto escalar entre dois vetores: Este exemplo mostra que se tivermos algumas ferramentas geométricas presentes na nossa cultura, podemos entender melhor alguns elementos do Cálculo multivariado, o que justifica eu seguir por este caminho.
Como é uma "revisão", espero que você lance mão de algum texto de Geometria Analítica Vetorial (deve ser este o título do livro) e algumas listas de exercícios sobre o assunto, e complete seus conhecimentos para fazer os exercícios da lista.

Cosenos diretores

Este parágrafo estava um pouco confuso porque havia um erro que foi agora corrigido. Se você tiver lido antes desta observação, releia agora que o texto está corrigido.

Há vários métodos para identificar pontos no espaço ou construir equações de objetos generalizando as fórmulas que determinam um ponto sobre o círculo trigonométrico. Vou apresentar-lhe aqui os "cosenos diretores" de uma reta.
O nome não ajuda muito a entender, mas relembre-se das coordenadas esféricas que estudamos na lista 09 (e no seu texto de apoio). As coordenadas esféricas generalizam o círculo trigonométrico que por sua vez representa a base para as coordenadas polares.


As coordenadas de um ponto na esfera unitária são:

Observe que foram obtidas pelo produto de cos(alfa) e sen(alfa) pelas coordenadas de um ponto no círculo trigonométrico. As duas primeiras equações são as coordenadas de um ponto no círculo trigonométrico multiplicadas por cos(alfa).
Se você multiplicar pelo raio rho, vai obter as coordenadas esféricas.
A coordenada "rho" expande ou contrai a esfera para que você possa endereçar qualquer ponto do espaço.
Vou agora modificar um pouco as coordenadas da esfera para obter os "cosenos diretores".
Primeiro observe: Se os ângulos teta, gama forem complementares, então:
           seno(teta) = cos(gama);
Isto nos permite escrever as coordenadas no círculo trigonométrico apenas usando cosenos de ângulos complementares.
As coordenadas esféricas algumas vezes são escritas usando coseno e seno intercambiados, é preciso apenas ter cuidado com a variação do ângulo alfa para obter exatamete o que se deseja. Fazendo esta troca temos: Outra expressão (equivalente) da coordenadas de um ponto P na esfera unitária são: Os ângulos teta1, gama1, alfa1 são os ângulos da projeção do vetor P com os eixos OX, OY, OZ respectivamente.
Como P se encontra sobre a esfera de raio 1 então (já vimos isto na lista 09) a soma dos quadrados destes números é 1 quer dizer que cada um deles é um número menor do que 1 (portanto são cosenos de algum ângulo).
Chame de r a reta que que P determina com a origem. O ponto P define com cada um dos eixos um plano que corta a esfera segundo um círculo de raio 1, porque dois segmentos de reta que se encontram num ponto determinam um plano e este plano corta a esfera de raio 1 produzindo um círculo de raio 1. Sobre cada um destes planos, a reta que contém P passa no círculo unitário no ponto P, e portanto em cada um destes planos a projeção perpendicular de P sobre o respectivo eixo é o coseno do angulo entre esta reta e o respectivo eixo. Chame estes ângulos de teta, gama, alfa" Os cosenos destes ângulos são as coordenadas esféricas: que vou escrever simplesmente
Estes são os cosenos diretores da reta determinada pelo ponto P e pela origem. Eu sugeri, erradamente, na versão anterior deste texto, que estes ângulos seriam complementares. Não são, eles se encontram em planos diferentes:

Como determinar os cosenos diretores

A forma de determinar o cosenos diretores é:
Algoritmo:
dividir as coordenadas de P pelo comprimento de OP.
Ao fazer cada uma destas divisões, você se encontra no plano determinado por OP e pelo eixo a que pertence a coordenada. Isto mostra que apenas três números determinam uma reta. Os cosenos diretores de uma reta são os três cosenos que aparecem na equação anterior.
Um ponto R qualquer no espaço, não precisa se encontrar sobre a esfera unitária, determina com a origem um segmento de reta que determina de forma única os cosenos diretores: calculados como indiquei acima, dividindo cada coordenada de R pelo comprimento do segmento que R determina com a origem. Podemos dizer também que determina, de forma única, os três ângulos:
teta, gama, alfa.
As coordenadas esféricas são os cosenos diretores de um ponto se ele estiver sobre a esfera unitária, representam assim uma generalização das coordenadas polares.

Angulos diretores

Os ângulos teta, gama e alfa são chamados ângulos diretores da direção do vetor R (ou da reta que o ponto R determina com a origem).
Vou mostrar-lhe outra generalização.

Coordenadas cilíndricas

Estas coordenadas são uma terceira forma de generalizar as coordenadas polares, agora considerando o cílindro, de altura s, que fica em cima do círculo de raio R no plano. A altura s pode ser positiva, negativa, ou nula.
As coordenas cilíndricas de um ponto no espaço são: Eu poderia ter escrito cos(teta), cos(gama), mas não é este o hábito, e as minhas fórmulas ficariam diferentes das fórmulas que você vai encontra na literatura, e como já tenho dito muitas vezes, é melhor seguir com certos "defeitos" de notação e manter a linguagem universal do que tentar melhorar a linguagem mas criando textos difíceis de serem lidos.

Os vetores i,j,k dos físicos

Algumas vezes ajuda usar os vetores i,j,k que os fisicos tem o hábito de usar e que os matemáticos raramente usam. O produto vetorial de dois vetores se expressa facilmente usando estes vetores e um "determinante formal". Usamos a denominação "determinante formal" para salientar que é uma espécie de operador aplicado aos vetores para produzir um outro vetor (determinantes são números e não vetores). E este "objeto" é realmente extranho: determinante formal Mas funciona!
Na primeira linha do "determinante" temos os três vetores i,j,k.
Na segunda linha as coordenadas do vetor u;
Na terceira linha as coordenadas do vetor v;
Se trocarmos a ordem, o sinal é trocado e assim o produto vetorial é anti-comutativo, e o "determinante" define corretamente o resultado. Determinantes formais aparecem com frequência no Cálculo Vetorial, nós já vimos um antes quando calculamos a derivada exterior e outras fórmulas em que aparecem determinantes formais ainda vão aparecer. A terminologia determinantes formais não é padrão, estou usando uma vez que estes determinantes aparecem apenas porque os cálculos se comportam com anti-comutativamente que é uma característica dos determinantes:

Comentários sobre os exercícios - lista 12

O cálculo da integral dupla no exercício 2.

Vou calcular no caso item 2-(c) porém vou alterar a equação de $\latex P(x,y) $ para $\latex = -xy + \frac{y^{2}}{2}$ para que o Teorema de Green seja satisfeito.
Este é um exemplo interessante de uso do Teorema de Green.
A região D é o complemento do círculo unitário relativamente ao retângulo de vértices
(0,-2), (2,-2), (2,2), (0,2)
tomados nesta ordem (definindo assim um sentido de percurso sobre a fronteira e passando por um segmento do círculo unitário de modo a manter esta orientação. Na figura abaixo você tem o gráfico da região ${\cal D}$ com a fronteira orientada no sentido positivo. A fronteira da região D

Curvas tem orientação positiva ou negativa.

O sentido positivo de uma curva fechada se define considerando um vetor tangente a curva num ponto qualquer e associando-lhe o vetor normal naquele ponto. o resultado deve ser parte do "triedro positivo" - como ficam os vetores i,j,k da Física, aqui i, j respectivamente paralelos ao vetor tangente e ao vetor normal.
Observe que o "triedro positivo" é móvel, fica colocado em cada ponto da curva, a direção do vetor i sendo a do vetor tangente à curva (exatamente para determinar se a curva está sendo traçada no sentido positivo ou negativo).
Ou ainda, se você fizer o produto vetorial destes dois vetores, o resultado deve ser paralelo ao vetor k. Compare com o sentido positivo de rotação no círculo trigonométrico que é o anti-horário (quer dizer, os relógios andam no sentido negativo).
Ainda uma forma prática de determinar a orientação de uma curva fechada. curva de orientação positiva
A fronteira da região sobre a qual quero calcular a integral dupla (ou a integral de linha) é uma curva orientada, mas definida por pedaços, vou definir as parametrizações de cada um dos pedaços da fronteira de forma a obter uma única curva (e vou calcular a integral usando estes pedaços). Para isto vou orientar os intervalos de modo a obter a orientação da curva.
Por exemplo, o primeiro intervalo de parametrização é
[pi/2, -pi/2]
escrito desta maneira, indicando que a curva é descrita a partir do ponto D(pi/2) para o ponto D(-pi/2).
Outra maneira de fazer é trocando o sinal da curva e mantendo os intervalos no formato habitual, mas desta forma eu também vou indicar a orientação no cálculo das integrais. equações da fronteirz

O cálculo da integral de linha - exer 03-c

Já observei acima que modifiquei os dados do exer03-c (apenas para usar como exemplo aqui na página - a correção será feita como se encontra na lista publicada). a integral de linha
calculei, errei, já corrigi! Vou agora calcular a integral dupla que já sabemos que vale o mesmo que a integral de linha (pelo Teorema de Green), apenas como um exercício de cálculo de integral dupla. Vale a mesma observação já feita sobre alteração da equação no exer03-c

O cálculo da integral dupla - exer 03-c

integral dupla no exercício 03
Vou calcular esta integral como exercício 03 - integral dupla porque acho que fica mais simples a especificação das curvas que delimitam a fronteira da região. Vou dividir a região em três regiões disjuntas, relativas à variação de y (as fronteiras são comuns o que não altera o valor da integral).
três regiões dijuntas Observe, quero calcular é menos a integral
a integral dupla
Observe que na aula de quarta-feira, dia 12 de maio, eu calculei errado esta integral, achando o valor 8, porque errei no cálculo da integral de linha sobre o semi-círculo da fronteira de D. Os cálculos agora está corretos.