tarcisioA integral e a mudança de parâmetros.

Vou apresentar aqui a expressão da regra da cadéia no cálculo de integrais que é comumente chamada de "mudança de variáveis", uma denominação que não me agrada porque não há variáveis no integrando embora tudo funcione como se houvesse... ignore por enquanto esta contradição mas se prepare para um dia procurar entender esta bela lógica nas expressões das integrais.

Vou começar relembrando algumas contas que fizemos no âmbito da lista 06 onde você pode encontrar esta fórmula

mudança de variável 01

que foi usada no cálculo da gaussiana, quando eu transformei a expressão da gaussiana, usando coordenadas polares e assim transformando a integral, originariamente sobre um retângulo, para um disco de centro na origem - em resumo usei coordenadas polares.

Ja venho fazendo isto em algumas listas, comecei na lista 05 e agora vou finalizar o esta questão na lista 09.

Você viu que nesta transformação de coordenadas surgiu uma definição de produto exterior de diferenciais que foi uma invenção interessante dos que fizeram estes cálculos uns 200 anos passados. Eu costumo dizer que eles "inventaram" estas regras para que as contas se ajustassem à realidade. Foi o que fiz, ou melhor foi a observação que fiz quando escrevi o sistema de equações que definem as derivadas exteriores. Eles (os nossos antepassados) verificaram que precisavam de regras como

du dv = - dv du

expressando a anti-comutatividade da derivada exterior. Caso contrário não conseguiriam transformar as integrais com as contas corretas, então estas regras foram impostas para que os cálculos se ajustassem à realidade.

O que vou mostrar agora é que isto ocorre de forma natural se usarmos determinantes, os determinantes são o instrumento para definir multplicações anti-comutativas, eles são um exemplo de transformação multinear alternada:

  1. quando trocamos linhas, ou colunas numa matriz, o seu determinante troca de sinal;
  2. quando trocamos uma linha colocando uma cópia de outra em seu lugar, o determinante se anula que é o que corresponde à regra du du = 0.

Então os determinantes vem expressar a invenção mais ou menos autoritária que foi feita para as contas darem certo (isto foi descoberto algum tempo depois).

Deixe-me apresentar logo uma notação para o determinante da Jacobiana (determinante da derivada)

Determinante da Jacobiana

O símbolo na equação (1) relaciona diretamente as "variáveis" antigas e novas dentro da integral. Ele vem expresso sob forma de fração, e neste ponto costumo dizer que esta é uma das expressões mais intrigantes da Matemática. Porque não existem frações para representar derivadas, mas a notação de von Leibniz para derivadas dy/dx é extremamente útil e entra com precisão dentro da regra da cadéia quando esta expressão, que não é uma fração, funciona como se fosse uma fração. O símbolo na equação (1) tem o mesmo efeito e nos ajuda a lembrar em que ordem devemos escrever as contas de tal modo que as variáveis sejam canceladas... A chamada mudança de variável é uma aplicação da regra da cadéia de derivadas. Quando derivamos temos que levar em conta a expressão (ou as expressões intermediárias) na definição de uma função composta. É o que acontece aqui, estamos calculando a integral de uma função composta - um dos fatores na composição é a mudança de variáveis.

O nosso objetivo é o de transformar o cálculo da integral de modo expressá-lo sobre um região cúbica ou círcular, em geral buscamos uma destas formas. Estou chamando de T esta transformação desde a lista 05.

A regra da cadeia na integral( 3)

Você pode ver a expressão do determinante da mudança de variável na equação (3) que vem corrigir a deformação geométrica entre os dois domínios de integração, o original e o novo.

determinante da jacobiana

A equação (5) é muito prática se estivermos com equações paramêtricas, basta calcularmos a derivadas de cada uma das variáveis (antigas) relativamente as (novas) variáveis e obtemos o coeficiente de correção que no caso das coordenadas esféricas (na forma como eu as escrevi)

coordenadas esféricas

é determinante - coordenadas esféricas . A ordem como os cálculos devem ser feito está claramente expresso na equação (3).

Medida dos objetos no espaço

medida dos objetos 01

A primeira questão da lista 09 lida com este símbolo. Qual é o seu significado?

Se usarmos o método de aproximação temos um meio simples e geométrico de entender o que significa este símbolo. Primeiro que tudo observe que a integral é um limite portanto este símbolo representa um limite de uma sucessão de somas que podem ser obtidas de muitas maneiras diferentes, cada malha arbitrária que você definir na região D vai iniciar um processo conduzindo a uma sucessão de somas (que pode ter, ou não ter um limite). A integral se existe se qualquer um destes processos produzir uma sucessão que tenhas todas um limite comum. Este limite comum é o valor da integral. Sei que esta forma de falar por um lado é um pouco intimidatória, afinal, temos que construir uma infinidade de sucessões para verificar se todas tem o mesmo limite? A resposta é não! Apenas a definição é esta e algumas vezes precisamos desta definição em demonstrações. Na prática é em geral muito mais fácil! (algumas vezes pode ser mais difícil - são os problemas que podemos encontrar em Matemática e se eles não existissem eu perderia a razão de existir.... é o meu trabalho, resolver problemas!)

Retornando ao significado da integral. Vou fazer uma sucessão de comparações começando com a dimensão 1 onde posso fazer gráficos e assim falar geométricamente. No caso da integral tripla que temos nesta figura a integral triplaeu não posso expressar nada geométricamente porque ela vai além da minha concepção geométrica (ou da sua). Começando pela integral univariada que você já conhece bem (se não conhecer, comece a fazê-lo agora, sem complexos). Esta integral representa a médida do domínio de integração - o intervalo [a,b].

Vou escrever m([a,b]) = b-aintegral univariada que tem um nome geométrico, está dentro de nossa concepção geométrica, se chama comprimento. É o comprimento do intervalo [a,b].

Olhe que se trata de um símbolo semelhante ao que escrevi para a integral tripla, estou querendo sugerir que no caso da integral tripla também tenho uma medida. É isto.

Deixe-me pensar na forma de cálcular esta integral tripla aproximadamente. Com um programa vou definir uma malha cobrindo o domínio D que uma região do R 3 (um sólido, diriamos com a nossa concepção geométrica). Quer dizer que colocar malha neste caso seria definir uma partição de três intervalos cujo produto contenha D de modo que os nós da malha cubram os pontos deste objeto de forma muito densa. O programa que está na minha cabeça vai executar a seguinte sentença:

soma de Riemann tripla

Uma soma com três índices e possivelmente tem um erro no meu "programa" porque os os limites dos somatórios devem ser diferentes (o domínio D pode ser um "batatoide" e portanto eu posso precisar de mais cubinhos uma das direções do espaço do que n'outras).

Mas o importante neste momento é que você compreenda que posso calcular aproximadamente caso eu não saiba calcular extamente. Melhor, é importante que você tenha certeza de que pode rodar um programa para calcular aproximadamente e assim, você mesmo, testar se os cálculos formais que você fez estão corretos sem precisar de alguma resposta contida no livro que você estiver estudando (ou mesmo testar se a resposta do livro está ou não correta).

Então em cada um destes nós vou considerar um cubo e, naturalmente, (como Arquimedes fez) posso aceitar apenas os cubos que fiquem dentro de D somando seus volumes e obtendo um volume aproximado por falta de D . Como posso também aceitar que alguns dos pequenos cubos saiam fora de do domínio errando algumas vezes por excesso (e outras vezes por falta). Com o programa posso reduzir arbitrariamente (até um certo ponto...) o passo da malha (os lados dos cubos) e reduzir o erro no cálculo do volume.

É verdade que que os símbolos dx, dy, dz "representam" os "deltas" do somatório, cujo produto representa o volume dos pequenos cubos com que Arquimedes exauria o líquido de um recipiente para calcular aproximadamente o seu volume. O que não é verdade esperar que sejam limites que a confusão dos "infinitésimos criou". Acho que posso fazer um resumo, uma tabela de dupla entrada, por dimensão, do significado de integrais do tipo destas que estou aqui discutindo:

tabela de medidas

Somente tenho denominação geométrica até a integral tripla, porém tenho uma denominação que me libera desta prisão tridimensional, medida. Posso chamar tudo de medida, precisando acrescento um adjetivo indicando relativamente a que dimensão é a medida que estou calculando. O "volume" é a medida dos objetos na dimensão 3, "área" é o nome que damos à medida dos objetos em dimensão dois, "comprimento" é o nome da medida para dimensão 1. Havia um erro na equação (7), observado por Joniel Fernandes Santos, onde havia uma integral simples, deveria haver uma integral dupla, (corrigido!).

Em dimensão zero tudo "pode" ter medida zero....

Pode? sim, é uma questão relativa. Vou tratar disto agora e consequentemente as medidas das "dimensões tradicionais" onde vale a prisão tridimensional, podem também ser outras.

Medida é um conceito relativo

O preço de um terreno pode ser uma medida? sei que você ainda não pensou nesta questão!

Se você for comprar (ou vender) um terreno na cidade em que você mora você sabe que o terreno tem um preço. Certo, o preço varia, mas não de um dia para o outro, e nem mesmo de um mes para o outro. Varia porque os preços dos terrenos estão sujeitos a corrupção imobiliária. Tem grupos econômicos que cobrem nossas cidades com uma superfície (que apenas eles conseguem ver)

corrupção imobiliária

se você visitar algum destes "locais" vai encontrar uma maquete como esta da figura mostrando os "pontos altos" dos preços na cidade, vizinho da catedral ou de algum outro ponto turístico da cidade, eles garantem que os preços dos terrenos sem bem elevados. Suponha que o terreno D que você esteja comprando ou vendendo fica perto de algum deste picos de valor, então o valor, preço, do (medida) do terreno vai ser

o preço do terreno

Estou usando a mesma denominação, m( D ), esta medida tem um nome habitual, preço, mas quero enfatizar que é apenas um tipo de medida. Ela depende da função de distribuição F que é definida por um método nada algébrico, são "injunções" imobiliárias, uma definição política dos grupos econômicos que dominam a cidade e tem um aspecto parecido com o que aparece na figura. Os pontos altos, os picos de preço, estão associados a pontos que eles determinam como mais valiosos dentro da cidade e que fogem um pouco da vontade destes grupos econômicos, mas que reflete os interesses deles.

O que me interessa neste exemplo é mostrar-lhe que "medida" é um conceito relativo a uma certa "distribuição" dentro do espaço. Um outro exemplo poderia ser a quantidade luz que um objeto recebe no espaço sideral, por exmplo, a partir da fonte de energia Sol. A Terra, Marte ou Jupiter recebem diferentes quantidades de energia por metro quadrado. Aqui a função de distribuição se assemelha com a da corrupção imobiliária, mas com um pique em cima do Sol. Os valores desta intensidade decrescem na razão inversa do quadrado da distância da fonte de energia porque a luz se propaga uniformente em todas as direções portanto para saber quanto chega em Marte, Terra ou Jupiter depende da esfera em que cada um destes objetos se encontra (esferas centradas no Sol). Interessa então a área da esfera de luz que corresponde ao objeto - esta é quantidade (ou o índice) para o cálculo da medida da energia que chega ao objeto. Quando eu tratar de área de superfícies vou voltar a este exemplo.

Neste momento fique apenas a observação, embora a integral em (11) represente um volume, este volume é a medida do terreno D submetido à distribuição dos preços numa certa cidade em que F representa esta distribuição definida pelas injuções imobiliárias.

O gráfico ilustrativo do cálculo do preço foi produzido pelo programa exer09_medida_05.gnuplot que se encontra no link programas da página.

Comentários sobre a lista 09

A lista 09 se encontra no link exercicios da página.

Os item 2-a,b,c) são falsos, o interessante é corrigir o item 2-c) onde o único erro é o limite de integração:

o item 2-c da lista 09

Os cálculos, na lista estão todos corretos mas o limite inferior da integração em rho é a quando deveria ser zero como se pode ver nas contas acima. Esta integral eu não consegui calcular, desisti depois de uma hora de trabalho e alguns erros no caminho. O cálculo aproximado foi feito com um programa em calc e eis a saída de dados do programa:

Rodei o programa exer09_02_c.calc que se encontra na página, no lik "programas" com estes dados:

pi = 4*atan(1)

a = 1

I = riemann(0,pi/4,0.0005);

Otendo como resultado

I = ~0.52369000990006090618

-2*I/a + pi/2a = ~0.52341630699477480687; é o valor da integral calculado com o programa

pi/6 este é o valor exato da integral

pi/6 =~ 0.52359877559829887308

o erro do programa se dá na quarta casa decimal depois da vírgula com o passo 0.0005.

a primtiva - computação algébrica